Comment une simple somme d'inverses de carrés a-t-elle pu mener à l'un des plus grands mystères de l'histoire des mathématiques ? Entre le problème de Bâle et la célèbre fonction zêta de Riemann, découvrez comment les nombres premiers cachent un secret à un million de dollars !
Le Problème de Bâle a longtemps été un problème difficile à résoudre. En fait, ce problème peut paraître simple et compliqué à la fois. Mais qu’est-ce que ce problème ? Il s’agit d’un problème datant de 1644 formulé par Pietro Mengoli, un mathématicien Italien. Il consiste à trouver la valeur de la série : 1 + 1/2² + 1/3² + ... = 1 + 1/4 + 1/9 + ...
Cette série est appelée « Somme des inverses des carrés ». On peut facilement s’en convaincre, puisqu’au dénominateur nous avons le carré de chaque entier positif. Ce problème a aussi été étudié 40 ans plus tard par Jacques Bernouilli. Ce problème porte le nom de « Bâle » car il s’agit de la ville natale de Bernouilli. Il faut attendre 1735 pour qu’un mathématicien du nom de Leonhard Euler apporte la réponse à ce problème : π²/6.
Bien des décennies plus tard, le mathématicien Bernhard Riemann publie un article en 1859 intitulé : « Sur le nombre de nombres premiers inférieur à une taille donnée ». Il y définit une fonction appelée « fonction zêta », notée : ζ. Cette fonction est un peu particulière puisqu’il s’agit d’une somme infinie, mais elle se définit ainsi :
Écrit comme cela, ça ne vous dit pas grand-chose ! C’est tout à fait normal. En fait, de façon plus imagée voici ce que cela donne :
Pour que vous soyez à l’aise, voici un exemple d’une valeur de la fonction zêta : ζ(2) = 1 + 1/2² + 1/3² + ... = π²/6.
Cette fonction est aujourd’hui la plus importante d’une des branches des mathématiques : la théorie des nombres. Mais finalement, à quoi sert-elle ? Elle permet, entre autres, de comprendre la répartition des nombres premiers. Créons une fonction, que nous allons noter π(n), représentant les nombres premiers. Je vais d’abord définir quelque chose : à chaque fois que nous tombons sur un nombre premier, nous « montons » d’un cran :
De nombreuses approximations ont été faites afin de se rapprocher de cette fonction. Mais quel est le rapport avec notre fonction zêta ? Vous serez surpris de savoir que les moments où notre fonction s’annule, c’est-à-dire les « zéros » de la fonction zêta, sont liés à la répartition des nombres premiers. Cependant un point important est à souligner. Nous parlons ici des zéros de cette fonction quand nous sommes dans l’ensemble des nombres complexes. Pour rappel, un nombre complexe est un nombre qui se base sur le nombre i, tel que i² = -1 ; avec comme écriture : a + ib (a et b deux nombres réels). De plus, on rappelle que « a » est la partie réelle et « b » la partie imaginaire.
Pour revenir à notre fonction, on appelle « zéros triviaux » les valeurs de la forme « -2k » où la fonction s’annule. Je suis d’accord avec vous, dit comme cela, on ne voit pas vraiment ce que cela signifie ! En fait, c’est très simple : la fonction zêta s’annule lorsque l’on prend des valeurs du type : -2 ; -4 ; -6 ... C’est cela que l’on appelle les zéros triviaux. Seulement voilà, si on remplace notre « s » par « -2 », eh bien nous allons nous retrouver avec : 1+4+9+... = 0. Tout à coup, je vous sens légèrement fébrile. Ne vous en faites pas, c’est normal. Intuitivement, ceci est faux. Si vous prenez une pièce, puis que vous en ajoutez 4 et ainsi de suite, alors vous allez avoir une infinité de pièces. Mais les calculs prouvent le contraire. Il existe de vraies formules qui ont été prouvées et qui donnent ces résultats.
Bon, faisons le point un instant. On a vu que lorsque l’on prend un s < 1, on trouve un résultat fini, de même pour un s > 1. Mais comme vous l’avez sûrement remarqué, j’ai oublié deux valeurs : 0 et 1. Lorsque l’on prend un s = 0, on va trouver 1+1+1+..., qui, par la même formule qui donne le résultat de 1+4+9+..., va donner -1/2. Pour ce qui est de s = 1, on a 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... qui est la série harmonique - laquelle diverge vers l'infini.
Il existe néanmoins un autre type de « zéro », les « zéros non triviaux ». Pour comprendre, plaçons-nous avec notre fonction dans l’intervalle ]0,1[ (pour notre partie réelle tout du moins !). Eh bien Riemann formule l’hypothèse selon laquelle tous les zéros non triviaux ont une partie réelle égale à 1/2. Mais tout cela n’est pas si simple. En effet, il existe une infinité de zéros non triviaux. De plus, cette hypothèse n’a toujours pas été prouvée. Elle fait partie des 7 problèmes du millénaire. Si vous parvenez à la démontrer, 1 million de dollars est à la clé. Mais ce n’est pas tout ! Vous serez aussi considéré comme le plus grand mathématicien du monde ! Bref vous aurez richesse, célébrité et même le secret des mathématiques entre vos mains.
Mais... pas si vite ! Si vous vous lancez dans cette quête pour la gloire et la richesse, alors laissez-moi vous dire que vous n’y arriverez très probablement pas. L'argent importe peu pour les mathématiciens, ce qu’ils veulent c’est la clé du secret ! Mais qui sait ? Peut-être que vous y arriverez...!
Par Quentin Lesage.
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