On le croit cloisonné dans nos manuels de géométrie, alors que le nombre π cache un désordre infini. Entre ses décimales se logeraient sans doute toutes les dates de l'histoire, tous les livres jamais écrits et, peut-être, les secrets de l'Univers. Du simple rapport entre un cercle et son diamètre à la quête obsessionnelle des mathématiciens pour ses milliards de chiffres, plongez dans le récit du nombre le plus fascinant des mathématiques - si ce n'est de la science !
Il aurait été convenable, pour ce premier article mathématique, de vous présenter d'abord les mathématiques. Mais présenter le nombre le plus iconique était une priorité ! Vous savez probablement qu’il vaut environ 3,14, mais il est en réalité bien plus que cela.
En plus du fait que ce soit l’un des nombres les plus utilisés, il comporte une infinité de chiffres après la virgule. Il est ce qu’on appelle un nombre "irrationnel", c’est-à-dire un nombre qui ne peut être écrit sous la forme d’une fraction. C’est dans ses décimales - les chiffres après la virgule - que se cachent les secrets de l’Univers - rien que ça ! En fait, il comporte aussi votre date de naissance, le récit de votre vie, votre date de décès, la première image du Cosmos, tous les livres possibles et imaginables, et bien plus encore ! En fait, on soupçonne pi d'être un nombre univers - c'est-à-dire un nombre dans lequel on peut trouver n'importe quelle séquence finie de chiffres. Attention néanmoins, tous les nombres irrationnels ne sont pas univers : on pourrait imaginer un nombre dont les décimales sont seulement composées de "0" et de "1", ce qui exclurait des séquences comme "123". Pour ce qui est de pi, il vous suffit de parcourir plus ou moins longtemps ses décimales pour trouver la suite de chiffres que vous cherchez. Si vous voulez, par exemple, le nombre « 92 », il se trouve de la sixième décimale à la septième (3,141592). Ici, c'était simple ; mais parfois, il faut aller très loin !
Bon ! Bon ! Depuis tout à l'heure, je vous parle des merveilles de pi, mais je ne vous parle pas de son utilité et de son histoire ! Pour donner une définition que je qualifierais de « bête et méchante », pi est le rapport de la circonférence d’un cercle (en noir) à son diamètre (en rouge). Essayons de comprendre cette définition en donnant un sens à chacun des termes. Ce qu’on appelle circonférence, c’est le nombre que fait le tour d’un cercle. Si vous imaginez un cercle dans votre tête, il y a comme une ligne tout autour du cercle. Cette ligne a une valeur numérique - sa longueur - et c’est ce qu’on appelle la circonférence (aussi appelée périmètre du cercle).
Pour la calculer, il suffit de multiplier pi par le diamètre. Plus mathématiquement, si on appelle c la circonférence et d le diamètre, on peut dire que c = πd, soit π = c/d.
Pour comprendre l’origine de ce nombre, il nous faut remonter en 4 000 avant notre ère en compagnie des Babyloniens - habitants de Babylone, connue aujourd’hui comme l’Irak. En ce temps on donnait une valeur approximative de pi à 3. Toujours à cette époque on trouve une seconde approximation d’environ 3,125. Imaginez qu’il y a plus de six mille ans de cela, on arrivait déjà à trouver des approximations assez correctes de ce nombre, seulement avec un cercle et des polygones (figures ayant un nombre donné de côtés). Puis en 1650 avant notre ère, en Égypte, on trouve sur le Papyrus Rhind une phrase sur l’aire du cercle : « L'aire du cercle de diamètre 9 coudées est celle du carré de côté 8 coudées ». On donnait alors une troisième valeur de pi - qui était approximativement de 3,16049.
Pour avoir une approximation intéressante de pi, il faut retourner à environ 200 avant notre ère, rendre visite à notre bon vieil ami Archimède ! Pour trouver une bonne approximation de pi, il va falloir prendre un cercle de rayon 1 (le rayon étant la moitié du diamètre) et l’encadrer avec des polygones réguliers (un polygone ayant ses côtés et ses angles de même valeur). C’est en prenant des polygones de quatre-vingt-seize côtés qu’il va trouver une approximation de 3,1419 environ, ce qui est considérable pour cette époque.
Image tirée de : https://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./a/archimede.html
Pi est un nombre merveilleux. Même si je n’ai pu vous raconter l’entièreté de sa vie, vous connaissez maintenant les quelques mystères qu’il renferme. En 2010, cinq trillons de décimales ont été trouvées, ce qui équivaut à cinq milliards de milliards de décimales. Peut-être y trouverez-vous un secret - moi, je vais essayer d'y trouver mon bonheur !
Par Quentin Lesage.
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