Le nombre d'or

Le nombre d’or est un nombre particulièrement intéressant. Nous avons vu le nombre pi et ses mystères, mais le nombre d’or est un nombre tout aussi important. En fait, ce nombre est la solution d’une équation dite du second degré (c’est-à-dire un problème dont l'inconnue est multipliée par elle-même). On note généralement cette inconnue x. Pour revenir à notre nombre d’or, l’équation qui lui donne naissance est x² = x + 1. Autrement dit, c'est un nombre qui, multiplié par lui-même, vaut la même chose qui si on lui rajoutait 1. Cette équation a deux solutions : (1+√5)/2 et (1-√5)/2. Mais laquelle est le nombre d’or ? Il s’agit en fait de la première solution, celle qui est positive. « (1+√5)/2 » veut simplement dire que ce nombre est égal à 1, auquel on ajoute un nombre tel que multiplié par lui-même donne 5, le tout divisé par 2. Même si vous ne comprenez pas parfaitement la signification de ce nombre, retenez simplement qu’il vaut environ 1,618.

Intéressons-nous maintenant à son histoire ! Il a - vraiment - été découvert par Euclide, vers 300 av. J-C - vraiment, parce que les Babyloniens et les Egyptiens l'utilisaient déjà intuitivement. Plus tard, on lui attribua la lettre grecque φ (« phi ») en l’honneur du célèbre sculpteur grec Phidias. Ce nombre, en plus de la propriété énoncée juste avant, en a une autre ! Le nombre d’or apparaît littéralement partout ! Commençons par une suite très connue, celle de Leonardo Fibonacci. Il la publia dans le « Liber Abaci » (« Livre de l’Abaque »), en regardant la croissance d’une population de lapins. Les premiers termes de la suite sont les suivants : 1 1 2 3 5 8 13 21... Comme vous l’avez sûrement remarqué, le terme suivant est égal à la somme des deux précédents : 1+1= 2... On retrouve d'ailleurs cette suite dans la nature - vous n'avez qu'à compter le nombre de spirales d'un tournesol ! Mais où est le rapport avec le nombre d’or ? Si vous divisez deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci, vous aurez une approximation du nombre d’or : 34/21 vaut environ 1,619.

Maintenant, représentons cela géométriquement. Il existe ce qu’on appelle un rectangle d’or - un rectangle dont les côtés sont deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci. Si l’on dessine un carré sur une des longueurs du rectangle, alors on obtient un rectangle plus grand, qui est lui aussi un rectangle d’or. Mais si on peut l'agrandir, alors on peut aussi le rétrécir. Prenons notre rectangle de base, et découpons-lui un carré : un nouveau rectangle d’or apparaîtra, mais cette fois-ci plus petit. Si on répète ce processus pendant un certain temps, il ne sera plus possible d’en dessiner (à l’échelle humaine tout du moins). Si on dessine dans chaque carré un quart de cercle, alors on verra apparaître une spirale logarithmique, donnant cette sublime figure :

On retrouve d'ailleurs cette spirale un peu partout : dans les coquillages, sur la coquille d’un escargot, dans des escaliers qui tournent, et même dans notre galaxie ! Mais le plus impressionnant reste le fait que la taille des carrés est égale aux termes de la suite de Fibonacci.

Et, même si l'on pourrait croire que le rectangle d'or n'a aucune utilité, il fut très utilisé en art, notamment pendant la Renaissance, chez Léonard De Vinci, par exemple :

Mais aussi en architecture, avec Le Corbusier, architecte suisse du XXème siècle, qui utilisa le nombre d'or pour construire la ville de Firminy ; le Parthénon, bien que son utilisation volontaire par les Grecs n'ait pas été prouvée ; dans la nature, en musique, dans les proportions du corps humain...

Et ce n'est pas tout ! Prenez un pentagone régulier - avec ses diagonales. Il y en a cinq au total. Les diagonales seront toujours phi fois plus grandes que les côtés du pentagone. Si à présent on découpe le pentagone en trois triangles par deux de ses diagonales, alors au centre vous obtenez un triangle isocèle dont les deux côtés égaux sont phi fois plus grands que la base. C’est un triangle d’or.

Intéressons-nous maintenant aux deux autres triangles. Ce sont eux aussi des triangles isocèles, mais cette fois-ci, c’est la base qui est phi fois plus grande. Ce sont des triangles d’argent.

Pourquoi un tel passage sur les triangles d'or et d'argent ? Parce qu'ils sont à la base des pavages de Penrose. Ces pavages portent le nom de leur créateur, Roger Penrose. Grâce aux triangles d’or et d’argent, on peut les remplir sur un plan, mais uniquement avec ces triangles. La particularité des pavages de Penrose, c’est qu’ils ne possèdent pas de structure répétitive, car ils sont non périodiques. Autrement dit, vous ne verrez jamais un même motif deux fois.

Le nombre d'or est l'un des nombres les plus extraodinaires. Certains considèrent ses propriétés et ses apparitions banales, mais d'autres, comme Luca Pacioli en 1509, le considèrent comme divin... À vous de rêver !