Probabilités et grands nombres

I. Quelques probabilités...

Les probabilités interviennent partout dans notre quotidien. Par exemple, il a pu arriver dans votre vie que quelqu’un vous dise : « C’était quoi la probabilité pour qu’on se voit ? ». Mais plus généralement, les probabilités interviennent dès lors que vous faites un choix ou un jeu de hasard...

Imaginez, par exemple, que vous avez parié avec un ami que vous alliez faire un nombre pair en lançant un dé à six faces (équilibré et numéroté de 1 à 6). Eh bien la probabilité que vous gagniez le pari est de ½. En effet un dé à six faces a comme nombres pairs : 2 ; 4 ; 6, et pour nombres impairs : 1 ; 3 ; 5. Nous avons donc là une équité entre les nombres pairs et impairs. Ici vous avez donc bien une probabilité de 3/6 de faire un nombre pair, soit ½. On note alors : P(p) = ½. Ici « p » signifie « pair » et « P » signifie « Probabilité ». À l’inverse on note P(i) = ½ la probabilité que vous fassiez un nombre impair, où « i » désigne « impair ».

Je vous l’accorde, cet exemple de probabilités est le plus simple. Mais sachez qu’il en existe d’autres qui sont bien plus complexes. Par exemple, quelle est la probabilité que vous tombiez deux fois de suite sur le même mélange d’un paquet de cartes ? Pour répondre à cette question, il nous faut tout d’abord savoir le nombre de mélanges possibles dans un jeu de cinquante-deux cartes. Pour ce faire, l’on va se demander combien il y a de possibilités pour la première carte du paquet. La réponse est simple : 52. De même, combien y a-t-il de possibilités pour la seconde carte du paquet ? La réponse est encore une fois évidente : 51. Nous allons répéter cette opération jusqu’à la dernière carte. Et on obtient alors : 52x51x50x49...x1.

Ceci se note « 52! » et se prononce « 52 factorielle ». (Petite parenthèse : ce que l’on est en train de faire ici s’appelle de la combinatoire. Il s’agit d’une branche des mathématiques où l’on dénombre et où l’on fait des calculs avec de grands nombres...) Bref, pour en revenir à notre calcul, 52! donne exactement : 80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000 (nombre que nous allons noter A). Comme vous pouvez le constater, A est extrêmement grand... Donc pour revenir à notre question initiale, la probabilité est donc de 1/A².

Vous ne l’avez peut-être pas vu, mais il y a un carré (²) au dénominateur. Ce qui signifie que vous devez multiplier le nombre du bas par lui-même... Le nombre obtenu est si grand, que l’on peut considérer que c’est impossible. Il n'est donc pas si absurde de dire que chaque mélange est unique !

Pour revenir à des nombres très grands, mais plus petits que ceux que l’on vient de voir, nous pouvons nous poser la question : combien y a-t-il de mélanges possibles dans un rubik’s cube et quelle est la probabilité de tomber sur un mélange précis ? De même que pour tout à l’heure, nous devons calculer le nombre de mélanges possibles pour un rubik’s cube. Ici, je vous donne directement le résultat : 43 252 003 274 489 856 000 - soit un total de plus de 43 trillions de possibilités, et donc une probabilité de 1/43 trillions. Pour illustrer à quel point le nombre de mélanges est colossal, sachez qu’il faudrait environ 1,37 billion (plus de mille milliards) d’années pour faire tous les mélanges du rubik’s cube, sachant qu’un mélange est fait chaque seconde - ce qui est considérable, car il faudrait plus de temps que le temps qui nous sépare de la naissance de l’Univers !

II. Dés-cidément !

Si je vous disais qu’il existe des dés à 120 faces, me croiriez -vous ? J’en doute. Mais si je vous en parle, vous devez vous douter que cela existe bel et bien ! Mais avant de parler de ce dé, présentons d’abord quelques solides... Ces solides se nomment : « solides de Platon ». Les voici :

Le premier solide est un « tétraèdre » (4 faces), le second est un cube (6 faces), le troisième est un « octaèdre » (8 faces), le quatrième solide se nomme « icosaèdre » (20 faces), et enfin le dernier solide est un « dodécaèdre » (12 faces). 

Ils ont tous les cinq les mêmes propriétés :

- Toutes les faces de ces solides sont des polygones réguliers superposables.

- Quelles que soient les faces d’un solide de Platon, aucune ne se coupe, sauf pour les arêtes.

- Le même nombre de faces se rencontre à chacun de ses sommets.

Prenons maintenant leur "version dé", et disons que nous cherchons un dé tel que la somme des faces opposées soit la même, que les petits et les grands nombres soient répartis équitablement, et que la moyenne des nombres autour de chaque sommet soit toujours égale au même résultat. Je ne sais pas si ceci est très clair. Mais pour expliquer chacune des propriétés que nous recherchons, nous allons prendre un exemple. Vous avez probablement remarqué que sur un dé à six faces, la somme des deux nombres opposés est toujours égale à 7 (première condition validée). Vous pouvez bien-sûr le vérifier. Aussi, si vous prenez un dé à six faces, vous pourrez remarquer qu’à un certain angle, on peut voir que les grands nombres sont classés entre eux, tout comme les petits (deuxième condition validée) :

Enfin, pour la dernière propriété que nous recherchons, il est simple de se convaincre pour ce dé que la moyenne n’est pas toujours égale au même résultat. En effet, si l’on regarde : 6+5+4/3 = 5 et 1+2+3/3 = 2 (qui est différent de) 5. La dernière condition n’est donc pas vérifiée ici.

En fait, si vous prenez n’importe quel dé, qu’il soit un solide platonique ou non, aucun ne vérifiera toutes les propriétés. Cependant, il en existe bel et bien un qui marche, le dé à 120 faces. Celui-ci vérifie toutes les propriétés : la somme de chacun de ses sommets est égale à 605 (et la moyenne est toujours de 60,5), les petits et les grands nombres sont tous répartis équitablement, et la somme de deux faces opposées est toujours égale à 121. Mais ce qu’il y a de plus étonnant avec ce dé, c’est le fait que 120 faces est le nombre maximum de faces que l’on peut avoir sur un dé, pourvu qu’il soit équilibré.