Vous avez sans doute croisé leur chemin au lycée, entre deux bâillements et une interrogation écrite : les logarithmes et ce mystérieux nombre e. Souvent perçus comme d'obscures formules réservées aux scientifiques en blouse blanche, ils sont pourtant les véritables architectes de notre réalité. Qu’il s’agisse de comprendre la croissance d'une épidémie, de mesurer la puissance d'un séisme, de régler le volume d'un casque ou même de calculer des intérêts bancaires, ces outils sont partout. Mais au-delà des calculatrices, que représentent-ils vraiment ? Pourquoi le nombre e est-il aussi fondamental pour la nature que le nombre π l'est pour les cercles ? Réponse ici.
I. Histoire et définition.
Alors, qu’est-ce qu’un logarithme ? Qu’est-ce que le nombre « e » ? Revenons d’abord au 16ème/17ème siècle. À cette époque, les scientifiques étaient confrontés à des calculs astronomiques, faisant intervenir des multiplications comme 234567891x89463. C’est alors qu’un mathématicien écossais du nom de John Napier est intervenu !
Né en 1550, il eut l'idée de transformer les multiplications en addition ! Bon, à première vue, cela n’a pas l’air si simple. Pourtant, c'est tout à fait le cas ! Prenons tout d’abord quelques « trucs » du monde qui nous entoure. Disons : un virus, une bactérie, une fourmi, un jeune garçon, un requin et un sequoia. Un virus a une taille d’environ 0,1 micromètre, une bactérie a une taille d’environ 10 micromètres (µm), une fourmi environ 2 millimètres (mm), un jeune garçon environ 1 mètre (m), un requin environ 10m, et un séquoia environ 100m.
Maintenant que nous avons nos « trucs » et leur taille, représentons-les sur un axe gradué. Mais si nous essayons, nous allons devoir choisir une unité pour cet axe. Ici nous allons choisir le mètre, puisque trois de nos « objets » sont exprimés en mètre. Or on va être confronté à un immense problème, car une grosse partie de nos objets qui vont être très proche du 0. Sauf que... leur ordre de grandeur est si petit qu’ils sont indiscernables !
John Napier inventa alors le « logarithme » pour résoudre cela : On sait que 1 vaut 100. Il dit alors que le logarithme de 1 est 0.
En fait, le logarithme d’un nombre est un nombre tel que mis sur une puissance de 10 vaut ce même nombre. Bon, je vous l’accorde, dit comme ça ce n'est pas facile à comprendre ! Reprenons notre exemple : 1 = 100. On a dit que le logarithme de 1 valait 0. Eh bien cela signifie que si on met 10 à la puissance 0, on va retomber sur 1 ! De manière plus mathématique, on définit le logarithme comme la réciproque de la fonction exponentielle : 10x = y revient au même que x = log(y) (car oui, un logarithme se note « log »).
Seulement voilà : on a pris 10 comme nombre, mais en réalité, on aurait pu prendre n’importe lequel ! En effet le logarithme que nous avons étudié est en base 10, puisque nous avons pris 10 comme nombre de départ ; mais si on avait pris 2, le logarithme aurait été en base 2.
Bref, pour revenir à notre problème de départ, on peut maintenant tout placer sans se soucier de rien ! Ce qu’il faut juste savoir, c’est qu’un mètre vaut 100 m, et que par conséquent : 10m = 101 m ; 100m = 102 m ; 1mm = 10-3 m ; 10µm = 10-5 m ; 0,1µm = 10-7 m. On prend alors maintenant une « règle » allant de -7 à 7, plutôt qu’une règle de 0 à 100, et on obtient :
Image extraite d’une vidéo de clipedia : « Les logarithmes : introduction »
Ici on a placé le virus en « -7 » puisque log(10-7) = -7, et on répète cela pour tout ce que l’on avait choisi au départ. On peut alors maintenant distinguer chaque objet !
Les logarithmes ne servent pas qu’à ça, puisqu’ils ont de multiples propriétés mathématiques. Par exemple, log(10n) = nlog(10). Et comme log(10) = 1, on trouve n.
II. Une petite équation !
Maintenant, essayons d’appliquer ces logarithmes pour résoudre des équations. Essayons par exemple de résoudre l’équation : 2x = 6. On l’a dit précédemment, pour enlever une puissance il suffit d’appliquer un logarithme. On marque alors : log(2x) = log(6), soit x*log(2) = log(6). Puis, pour suprimer une multiplication, on divise des deux côtés pour que l’équation soit toujours équivalente. On trouve alors : x = log(6)/log(2). Par convention, l'écriture "log" indique que nous sommes en base 10. Si nous avions été en base 2, nous aurions directement trouvé x : x = log2(6)
III. Une touche étrange...
Mais si vous regardez votre calculatrice, vous verrez aussi un logarithme tout à fait particulier : ln(x). Mais qui est-il ?
Pour répondre à cette question, on va passer par plusieurs étapes. Pour commencer, intéressons-nous à la fonction inverse - aussi appelée fonction hyperbolique.
Si on essaye de calculer l’aire sous cette courbe, disons entre 1 et 3, eh bien son aire est totalement liée aux logarithmes. On a appelé ce logarithme « logarithme naturel », aussi connu en France sous le nom de « logarithme népérien », en hommage à John Napier.
Le souci avec celui-ci, c’est que nous ne savons pas dans quelle base il est exprimé. Il fallut attendre 1690 pour que Leibniz la lui donne : b. Cela peut paraître un peu étrange, mais c’est pourtant bien ce qu’il dit dans sa lettre - sans préciser plus spécifiquement sa valeur.
Puis, en 1728, Leonhard Euler lui attribua la base e. Ce nombre est très particulier. Si vous essayez de le calculer, vous allez trouver qu'il vaut environ 2,718. Ce nombre là a beaucoup de propriétés : à l’époque, on notait la fonction exponentielle était exp(x) - et c'est Euler qui a prouvé que exp(x) = ex, signifiant alors que exp(1) = e.
IV. Le nombre e
Bon. Ok. Depuis tout à l’heure, on parle de e, mais qu’est-ce qu'il est, au juste ?
Imaginez que vous rentrez dans une banque et que l’on vous dit qu’à la fin de l’année vous recevrez 100% d’intérêts. Bon, vous êtes un peu méfiants, donc vous placez 1€. A la fin de l’année, vous aurez toujours votre euro auquel viennent s’ajouter 100% de 1€, c’est-à-dire que vous aurez 2€ au total.
Maintenant, que se passerait-il si vous touchiez 50% d’intérêts tous les 6 mois ? Cette fois-ci on ferait le calcul suivant : (1+50/100)². Vous auriez alors 2,25€, et gagné 25 centimes de plus qu’auparavant ! Mais si on fait cela tous les mois, toutes les semaines, jours, heures, minutes, secondes... bref tout le temps ? Vous serez surpris de savoir que l’on gagnerait e euros, c’est-à-dire environ 2,718281€. Finalement, certes, vous gagneriez, mais vous gagneriez très très peu !
En mathématiques, on dit alors que e est la limite quand n tend vers l'infini de (1+1/n)n, ce qui signifie simplement que si on remplace n par un nombre de plus en plus grand, on trouve e.
V. Une formule magique !
Intéressons-nous maintenant pour terminer à la plus belle formule des mathématiques ! Pour cela, on a besoin de nos bons vieux nombres complexes. On rappelle qu’un nombre complexe z s’écrit z = a + ib, avec a et b deux nombres réels et i le nombre tel que i² = -1.
La plus belle formule des mathématiques est celle-ci : eiπ + 1 = 0. Cette équation est considérée comme tel, car elle fait intervenir l’addition, la multiplication et l’exponentiation. Et ce n’est pas tout, on y retrouve aussi : 1 et 0, qui sont deux nombres à la base de l’arithmétique ; π, qui est le rapport de la circonférence d’un cercle à son diamètre ; le nombre i, et enfin le fameux nombre e.
Les logarithmes sont donc d'une utilité extraordinaire, car sans eux, nous n'aurions pas pu aller dans l'espace, comprendre certains phénomènes physiques et chimiques, ou compresser des données informatiques.
Par Quentin Lesage.
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