Vous êtes-vous déjà demandé ce que valait la somme 1+2+3+..., comment écrire de façon élégante n'importe quel nombre entier ? Non ? Ce n'est pas grave. Ramanujan l'a fait pour vous.
I. La somme des entiers naturels.
Il y a un homme, qui, au vingtième siècle, a révolutionné les mathématiques. Cet homme se nomme Srinivasa Ramanujan. Comptable indien à Madras, il part à Cambridge en 1914. Cet homme exceptionnel a la particularité d’avoir été autodidacte. C’est à 15 ans qu’il découvre un livre sur les mathématiques de Georges Carr (A Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics), et décide de consacrer à sa vie à cette merveilleuse matière ! Plus tard, il enverra une lettre à G.H Hardy. Dans sa lettre, il va remettre en question certains travaux de ce mathématicien, et principalement proposer des « séries infinies ». Ces séries infinies sont sous forme de sommes. Mais avant toute chose, il faut savoir ce qu’est une somme ! Elle se note ainsi :
La lettre grecque « sigma » représente la somme. Le « k » est une lettre quelconque qui peut être remplacée par n’importe quelle autre lettre. Le « = 1 » signifie que nous partons du nombre 1. Le « n » est la position jusqu’à laquelle on va aller. Enfin, le « k » de droite est l’expression de la somme. La somme que nous venons de marquer vaut : 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n (cette somme a d’ailleurs une formule ! On dit que 1+2+3+4+…+n = n(n+1)/2 ).
Mais que se passe-t-il si on prend n comme infini ? A priori, une bourse à laquelle on ajoute une pièce, puis deux, puis trois, puis etc., compte une infinité de pièces. Ramanujan eut un avis quelque peu différent... Voilà un extrait d'un de ses carnets.
Appelons c la somme 1+2+3+...
On a alors : c = 1 + 2 + 3 + ...
Si l'on multiplie cette somme par 4, on obtient aussi : 4c = 4 + 8 + 12 + ...
Mais, on sait que n'importe que ne rien ajouter à quelque chose ne change rien. Autrement dit, 4c vaut aussi : 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + ...
Si nous soustrayons c et 4c, on obtient alors :
c = 1 + 2 + 3 + ...
-4c = 0 -4 -0 -...
---------------------------------------
-3c = 1 - 2 + 3 - 4 + ...
Déterminons cette somme :
Donc 4s = 1. Donc s = 1/4.
Or, s = -3c. Donc -3c = 1/4.
Donc c = 1 + 2 + 3 + ... = -1/12.
Fascinant, n'est-ce pas ?
II. Racines carrées infinies.
Bien. Voyons maintenant quelques résultats surprenants avec les racines carrées !
Par exemple, que vaut √(√(√(... ? Pour le savoir, revenons aux autres formulations de la racine carrée : a^(1/2), a un nombre quelconque. Or, la racine d'une racine, etc., revient à écrire : a^(1/2)^(1/2)^(1/2)^..., soit a^(1/2 * 1/2 * 1/2 * ...), qu'on peut écrire plus vulgairement comme : a^(1/∞). Mais plus on divise par un nombre très grand, plus le nombre qu'on obtient est très petit. Par conséquent, nous avons finalement a^0, soit 1. On a donc : √(√(√(... = 1.
Bon, c'était un peu faible comme résultat... Mais Ramanujan en a donné un bien plus élégant dans ses carnets !
Cette formule peut être généralisée pour tout entier n :
Ce n'est qu'une petite liste non-exhaustive de paradoxes avec l'infini, mais tout à fait intéressante quand même !
Par Quentin Lesage.
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