Incontournable des bancs d’école, le théorème de Pythagore repose sur une démonstration géométrique d'une simplicité pourtant lumineuse, liant à jamais les côtés du triangle rectangle. Mais derrière la pureté de cette logique mathématique se cache une histoire bien plus sombre...
I. Le théorème de Pythagore et sa démonstration.
Le théorème de Pythagore sert en fait à calculer l’hypoténuse (le plus grand côté). Pour la calculer, Pythagore va faire un calcul simple : c² = a² + b². Par conséquent pour trouver c, il suffit d’appliquer la racine carrée. Ce qui nous donne : c = √(a² + b²). Si par exemple vous avez un triangle de côté « 1 » et « 1 », alors l’hypoténuse sera de √2.
Ce théorème, dont le nom est discutable, peut être prouvé de différente manière. Celle qui est la plus visuelle est géométrique.
La première chose que j’ai faite en parlant de ce théorème, c’est de vous donner directement le théorème de façon mathématiques. Alors reprenons depuis le début pour comprendre (en français) ce théorème. Il nous dit : « Le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés ». Regardez le schéma juste au-dessus. Pour représenter le carré d’un nombre (disons a) géométriquement, il vous suffit de faire un carré de longueur a. Ainsi pour calculer son aire, il faut simplement faire a². Avec le schéma donné, on peut donc dire que la surface du grand carré, vaut la somme de la surface du petit carré avec celle du carré de taille moyenne.
Pour démontrer ce théorème, nous allons prendre un grand carré de côté 2 fois CB (voir schéma)
Prêtez attention au second carré, mais ne vous laissez pas distraire par les lettres. Concentrez-vous uniquement sur les figures en elles-mêmes. La longueur du côté que nous avons choisi n’a pas été sélectionnée au hasard. Prenons quatre triangles rectangles (les mêmes que celui que l’on a choisi au début) et plaçons-les à chaque extrémité du (grand) carré. On voit alors un nouveau carré à l’intérieur, dont le côté vaut l’hypoténuse de chaque triangle. On se rend alors compte que la surface de ce carré est la même que celle du carré de côté AB (voir schéma). (Prêtez maintenant attention au premier carré) Si l’on change à présent de place les triangles, on voit alors apparaître deux nouveaux carrés. On remarque également que le carré de taille moyenne a pour côté CB, tandis que le petit carré a pour côté AC. Par conséquent la surface de ces deux carrés est la même que celle de tout à l’heure. Mais au fait, quand on est passé du grand carré au centre à deux carrés, la surface finale n’a pas changé. Je veux dire, ce n’est pas parce qu’on a changé de place les triangles que la surface du (grand) carré a changé. Cela signifie donc que la surface du grand carré est égale à l’addition (la somme) de la surface des deux autres carrés. CQFD.
II. Une petite anecdote...
Durant l’Antiquité travailler avec des nombres rationnels était commun. Cependant, c’est en prenant un triangle de côté « 1 » et « 1 » que l’on s’est rendu compte que d’autres nombres existaient… On les appelle aujourd’hui les nombres irrationnels. On raconte qu’Hippase aurait découvert l’existence de ces nombres, puis aurait été noyé pour avoir divulgué leur existence.
Vous rendez vous compte de l’ampleur que prenaient les mathématiques ? Les Pythagoriciens (ceux qui étaient dans l’école Pythagoricienne) voulaient garder secret l’existence de certains nombres, au prix de quelques vies s’il le fallait ! Pythagore disait lui-même que « Tout est nombre ». C’est-à-dire que tout s’exprime comme des nombres entiers et leurs rapports.
Ce ne sont pas les seuls secrets mathématiques que les Hommes ont gardés. L’existence des nombres complexes a elle aussi était un secret. Ce n’est que des années (si ce n’est des décennies ou des siècles) plus tard que ces secrets ont été dévoilés. Aujourd’hui même, il est probable qu’on garde secret quelque chose.
Mais peut-être vaut-il mieux ne pas tout savoir. En attendant, contemplons déjà ce que nous savons...
Par Quentin Lesage.
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