L'infini est-il une destination unique ou un paysage aux horizons multiples ? Si l'on imagine souvent l'infini comme un tout indivisible, le mathématicien Georg Cantor a prouvé qu'il existe pourtant des « tailles » d'infinis différentes. De la célèbre diagonale de Cantor à l'énigmatique Hypothèse du Continu, plongée dans une démonstration fascinante qui a révolutionné notre compréhension du nombre et poussé la logique jusqu'aux frontières de l'indécidable.
I. Démonstration
Pouvons-nous établir une bijection (relier chaque élément à un autre) entre les entiers naturels ({0,1,2,...}) et les réels (l'ensemble de tous les nombres que l'on connait habituellement) ? Autrement dit, l'infini des nombres entiers est-il le même que celui des nombres réels ? Pour le savoir, nous allons effectuer une démonstration par l’absurde, c'est-à-dire supposer comme vraie une hypothèse que l'on veut montrer fausse, et arriver à une contradiction. Cette fois-ci, nous allons supposer que nous pouvons lister tous les nombres réels de ]0,1[ (TOUS les nombres compris entre 0 et 1) :
0,123456789...
0,456784323...
0,234567894...
0,489098765...
0,345678998...
0,098765432...
0,234567894...
Nous allons ensuite prendre le nombre qui apparaît dans la diagonale : 0,439667, et ajouter 1 à chaque décimale. Ce qui va nous donner un nouveau nombre : 0,540778...
Si nous comparons ce nombre avec ceux de la liste, nous remarquons que ce ne peut pas être le premier, puisqu’il diffère à la première décimale. Cela ne peut également pas être le deuxième nombre de la liste, car il diffère à la seconde décimale - ni le troisième, parce qu’il diffère à la troisième décimale... Nous remarquons en fait ici que l’on peut faire cela pour tous les nombres - ce qui nous permet de conclure que le nouveau nombre que nous avons obtenu n’est pas listé, ce qui est contradictoire, puisque nous avons dit que nous avions listé tous les nombres réels compris entre 0 et 1. Nous arrivons également à la conclusion que l’infini des nombres réels est plus grand que celui des entiers naturels - ou celui des fractions, ou des nombres décimaux).
II. Explications.
Maintenant que nous venons de démontrer tout ça, il est important de comprendre. La personne qui a fait cette démonstration s’appelle Georg Cantor. Et pour comprendre sa démonstration, il est important de comprendre d’abord ce qu’est la cardinalité.
D’abord un cardinal est pour un ensemble. Si on prend l’exemple d’un ensemble B, avec son cardinal qui vaut 3, cela veut tout simplement dire que l’ensemble B contient trois éléments. Nous pouvons donc définir le cardinal d’un ensemble comme le nombre d’éléments qui le compose. Il y a plusieurs manières de le noter : card(A), #A, ou encore |A|. Ici j’ai pris l’exemple de l’ensemble A. En fait j’aurais pu prendre l’exemple de n’importe quel ensemble. D’ailleurs, calculons celui des Entiers Naturels ! On note "|N|=+∞, puisqu’il y a un nombre infini d’entiers positifs. Ce cardinal est le même pour les relatifs, les décimaux et les rationnels. Cantor attribua une lettre hébraïque à ce cardinal : ℵ0. Cela signifie « Aleph 0 » - « Aleph » étant la lettre hébraïque. Mais pour ce qui est du cardinal des nombres réels, c’est autre chose...
III. L'Hypothèse du Continu
L’Hypothèse du Continu est une hypothèse formulée par Georg Cantor. Je vais l'expliquer ici, dans les grandes lignes. Cette hypothèse cherche tout d’abord un « infini moyen », compris entre celui des entiers naturels (ℵ0) et celui des réels.
Cantor a prouvé avec sa diagonale (celle vu précédemment) que le cardinal de cet ensemble était différent de celui des entiers ou de tout autre sous ensemble des nombres réels. Cantor a noté le cardinal des réels comme ceci : 2ℵ0 = c. « c » pour « continu ». Il cherchait donc ceci : ℵ0 < ? < 2ℵ0 .
Mais ce n'est pas tout. En fait, Cantor a également cherché à savoir si |R| = 2ℵ0 = ℵ1. Ce qui donnerait : ℵ0 < ? < ℵ1. C’est cependant grâce à un mathématicien du vingtième siècle et à son théorème que l’on a pu avoir une réponse. Enfin... presque ! Il s'appelait Gödel, et son théorème a prouvé que cette question était indécidable, c’est-à-dire que l'hypothèse du continue était à la fois vraie et fausse - pour être plus précis, il démontra que l'hypothèse ne pouvait pas être infirmée, et Paul Cohen montra le contraire, qu'elle ne pouvait pas être affirmée.
Cantor inventa une infinité d’infinis différents, mais, hélas, ses idées ne furent pas prises au sérieux.
Ainsi, il est tout à fait raisonnable de dire qu'il existe des infinis plus grands que d'autres ! Cela peut paraître tout à fait contre-intuitif, car l'infini ne s'arrête jamais, mais c'est bien la vérité. Toutefois, Cantor formula l'hypothèse d'un infini plus grand que tous, l'infini absolu, noté Ω. Mais, comme tous les hommes qui se piègent dans leur esprit, ses pensées le rendèrent fou, et le conduisirent dans un hôpital psychiatrique...
Par Quentin Lesage.
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